取模（取余）核心公式

设：$a,b,m$ 为整数，$m>0$，$\bmod$ 为取模运算

一、基础恒等公式

1. 定义式

$$a \bmod m = a - m \times \left\lfloor \frac{a}{m} \right\rfloor $$

2. 同余基础 若 $a \equiv b \pmod{m}$，则：

$$a\bmod m = b\bmod m$$

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二、四则运算取模（最常用）

1. 加法取模

$$(a+b) \bmod m = \big[(a\bmod m)+(b\bmod m)\big] \bmod m $$

2. 减法取模

$$(a-b) \bmod m = \big[(a\bmod m)-(b\bmod m)+m\big] \bmod m $$

加 $m$ 防止出现负数

3. 乘法取模

$$(a\times b) \bmod m = \big[(a\bmod m)\times(b\bmod m)\big] \bmod m $$

4. 幂运算取模（快速幂核心）

$$a^k \bmod m = \big(a\bmod m\big)^k \bmod m$$

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三、拓展公式

1. 结合多因子

$$(a_1+a_2+\dots+a_n)\bmod m=\left(\sum_{i=1}^n (a_i\bmod m)\right)\bmod m $$$$(a_1a_2\cdots a_n)\bmod m=\left(\prod_{i=1}^n (a_i\bmod m)\right)\bmod m $$

2. 负数取模修正

$$(-a) \bmod m = (m - a\bmod m) \bmod m$$

3. 模的拆分 若 $m=p\times q$ 且 $p,q$ 互质：

$$\begin{cases} x\equiv a\pmod p\\ x\equiv b\pmod q \end{cases} \Rightarrow 中国剩余定理求解$$

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四、编程常用结论（C/C++、Python）

1. 先取模再运算，防止爆 long long
2. 减法一定要 +mod 再取模 避免负余数 示例：

ans = (a - b + mod) % mod;
ans = 1LL * a * b % mod;

需要我给你几道取模公式的例题+演算吗？方便直接套用刷题。