C++ 学习笔记总结（结合数学分析与代码实现）

一、基础输入输出与简单公式计算

1. 矩形的周长与面积

题目与数学分析

• 已知矩形长 a、宽 b，根据几何知识：
  • 周长公式：周长 = 2 * (长 + 宽) = 2*(a + b)
  • 面积公式：面积 = 长 * 宽 = a*b
• 需求：输入 a 和 b，输出周长和面积。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b;
    // 从键盘输入矩形的长和宽，比如输入“3 2”，a=3、b=2 
    cin >> a >> b;  

    // 计算并输出周长：2*(a + b)，代入3和2得2*(3+2)=10 
    cout << (a + b) * 2 << endl; 

    // 计算并输出面积：a*b，代入3和2得3*2=6 
    cout << a * b << endl;  

    return 0; 
}

知识要点

• 输入输出基础：cin 用于接收用户输入，cout 用于输出结果，endl 实现换行。
• 公式转化代码：把数学公式直接写成代码中的运算，让程序完成计算逻辑。

2. 多边形内角和

题目与数学分析

• 对于 n 边形（n ≥ 3 ），根据多边形内角和定理：
  内角和 = 180° * (n - 2)
• 需求：输入边数 n，输出内角和。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    // 输入多边形的边数，比如输入3（三角形） 
    cin >> n;  

    // 用公式计算内角和：180*(n-2)，n=3时得180*(1)=180 
    int interiorAngleSum = 180 * (n - 2); 

    // 输出内角和结果 
    cout << interiorAngleSum << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 数学定理应用：将多边形内角和的数学定理转化为代码，体现数学知识与编程的结合。
• 变量作用：用变量 n 存输入的边数，用 interiorAngleSum 存计算后的内角和，让代码逻辑清晰。

二、多条件推导与计算

1. 奖牌数量计算

题目与数学分析

• 已知：
  • 金牌数 a；
  • 银牌数 = 金牌数 + b → a + b；
  • 铜牌数 = 银牌数 + c → (a + b) + c；
• 总奖牌数 = 金牌 + 银牌 + 铜牌 → a + (a + b) + (a + b + c)。
• 需求：输入 a、b、c，输出总奖牌数。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c;
    // 输入金牌数、银牌比金牌多的数量、铜牌比银牌多的数量，比如输入1 2 3 
    cin >> a >> b >> c;  

    // 按公式计算总奖牌数：1 + (1+2) + (1+2+3) = 1+3+6=10 
    int total = a + (a + b) + (a + b + c); 

    // 输出总奖牌数结果 
    cout << total << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 多变量关联计算：通过题目条件，梳理出各奖牌数量的关联关系，用数学表达式串联，再转成代码。
• 分步推导：从已知条件（金牌数）逐步推导银牌、铜牌数，最后求和，体现逻辑推导过程。

2. 数人数（男女生人数）

题目与数学分析

• 设女生原有人数 x，男生原有人数 y：
  • 条件1：男生比女生多 a 人 → y = x + a；
  • 条件2：各离开 b 人后，男生是女生的2倍 → y - b = 2*(x - b)；
• 联立方程推导：
  把 y = x + a 代入 y - b = 2*(x - b)，化简得：
  x + a - b = 2x - 2b → x = a + b（女生原有人数）；
  男生原有人数 y = x + a = 2a + b。
• 需求：输入 a、b，输出原来男、女生人数。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b;
    // 输入男生比女生多的人数、各自离开的人数，比如输入1 1 
    cin >> a >> b;  

    // 推导得女生原有人数：a + b → 1+1=2 
    int girl = a + b; 

    // 推导得男生原有人数：2a + b → 2*1+1=3 
    int boy = 2 * a + b; 

    // 输出男生人数 
    cout << boy << endl; 
    // 输出女生人数 
    cout << girl << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 方程联立求解：用数学方程描述题目条件，通过代数运算推导公式，再用代码实现公式计算。
• 逻辑转化：把实际场景（男女生人数变化）转化为数学方程，体现编程解决实际问题的思路。

3. 盈亏问题（人数与物价）

题目与数学分析

• 设人数 x，物价 y：
  • 条件1：每人出 a 元，多 b 元 → a*x - y = b；
  • 条件2：每人出 a-1 元，少 c 元 → (a-1)*x - y = -c；
• 联立方程推导：
  用条件2变形得 y = (a-1)*x + c，代入条件1：
  a*x - [(a-1)*x + c] = b → 化简得 x = b + c（人数）；
  再代入 y = (a-1)*x + c 得物价公式。
• 需求：输入 a、b、c，输出人数和物价。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c;
    // 输入每人出的钱、多的钱、少的钱，比如输入8 3 4 
    cin >> a >> b >> c;  

    // 推导得人数：b + c → 3+4=7 
    int people = b + c; 

    // 推导得物价：(a-1)*people + c → (8-1)*7 +4=53 
    int price = (a - 1) * people + c; 

    // 输出人数和物价，中间用空格隔开 
    cout << people << " " << price << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 数学建模：把实际团购场景转化为数学方程（盈亏关系），通过解方程推导公式。
• 代码简洁性：用推导后的公式直接计算，避免复杂逻辑，体现数学对编程的简化作用。

三、规律探索与公式/数组应用（切蛋糕问题）

1. 数组版切蛋糕

题目与数学分析

• 切 n 刀时，蛋糕最多分成的块数有规律：
  • 切0刀：1块；
  • 切1刀：f(1) = f(0) + 1 = 2；
  • 切2刀：f(2) = f(1) + 2 = 4；
  • 切3刀：f(3) = f(2) + 3 = 7；
  • 以此类推，得递推公式 f(n) = f(n-1) + n（f(0)=1 ）。
• 需求：输入 n，输出切 n 刀后最多分成的块数。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    // 输入切割次数，比如输入3 
    cin >> n;  

    // 定义数组存每刀对应的块数，n最大5000，数组大小设5001 
    int f[5001]; 

    // 初始化：切0刀时1块 
    f[0] = 1; 

    // 从切1刀循环到切n刀，按递推公式计算 
    for (int i = 1; i <= n; i++) { 
        // 切i刀的块数 = 切i-1刀的块数 + i 
        f[i] = f[i - 1] + i; 
    }

    // 输出切n刀后的块数，输入3时f[3]=7 
    cout << f[n] << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 递推规律应用：发现切蛋糕块数的递推关系，用数组存储中间结果，通过循环逐步计算。
• 数组作用：用数组保存每一步（每一刀）的结果，方便后续直接获取最终 n 刀的答案，体现“以空间换时间”的编程思路。

2. 公式版切蛋糕

题目与数学分析

• 通过观察递推规律，推导通用公式：
  • 递推公式 f(n) = f(n-1) + n，且 f(0)=1；
  • 展开递推：
    f(n) = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + n（因为 f(0)=1，f(1)=f(0)+1 ，f(2)=f(1)+2 ，… ）；
  • 其中 1 + 2 + ... + n 是等差数列求和，公式为 n*(n+1)/2；
  • 所以最终公式：f(n) = n*(n+1)/2 + 1。
• 需求：输入 n，用公式直接计算并输出块数。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    // 输入切割次数，比如输入3 
    cin >> n;  

    // 用推导的公式计算：3*(3+1)/2 +1 = 6 +1=7 
    int result = n * (n + 1) / 2 + 1; 

    // 输出结果 
    cout << result << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 规律总结与公式推导：从递推规律中总结出数学公式，简化计算逻辑，避免循环和数组，提升效率。
• 数学简化编程：用数学方法（等差数列求和）优化代码，体现数学对编程效率的提升作用。

四、方程组求解（数球数问题）

数球数（足球、篮球、排球数量）

题目与数学分析

• 设足球 x 个、篮球 y 个、排球 z 个：
  • 条件1：足球 + 篮球 = a → x + y = a；
  • 条件2：篮球 + 排球 = b → y + z = b；
  • 条件3：排球 + 足球 = c → z + x = c；
• 联立方程组求解：
  把三个方程相加 → 2(x + y + z) = a + b + c → x + y + z = (a + b + c)/2；
  再分别减去原方程：
  • x = (a + c - b)/2（足球数）；
  • y = (a + b - c)/2（篮球数）；
  • z = (b + c - a)/2（排球数）。
• 需求：输入 a、b、c，输出三种球的数量。

代码实现（带注释）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c;
    // 输入足球+篮球、篮球+排球、排球+足球的数量，比如输入8 5 7 
    cin >> a >> b >> c;  

    // 按公式计算足球数量：(8+7-5)/2=10/2=5 
    int football = (a + c - b) / 2; 

    // 按公式计算篮球数量：(8+5-7)/2=6/2=3 
    int basketball = (a + b - c) / 2; 

    // 按公式计算排球数量：(5+7-8)/2=4/2=2 
    int volleyball = (b + c - a) / 2; 

    // 输出足球数量 
    cout << football << endl; 
    // 输出篮球数量 
    cout << basketball << endl; 
    // 输出排球数量 
    cout << volleyball << endl; 

    return 0; 
}

知识要点

• 方程组求解：用数学方法解多元一次方程组，推导各变量公式，再用代码实现。
• 实际问题抽象：把球的数量关系抽象成数学方程组，体现编程解决实际问题的“建模→求解”思路。

总结

这些 C++ 练习，核心是 “数学分析 → 逻辑推导 → 代码实现” 的过程：

1. 数学是基础：用几何公式（矩形周长面积）、定理（多边形内角和）、方程（盈亏、数人数、数球数）、规律（切蛋糕递推）等，把实际问题转化为数学模型。
2. 逻辑推导是关键：通过联立方程、递推分析、规律总结，推导出计算结果的公式或步骤。
3. 代码是工具：用 cin/cout 处理输入输出，用变量、数组、循环等实现数学逻辑，让程序自动完成计算。

从简单公式计算，到复杂方程组、递推规律，逐步锻炼 “把实际问题抽象成数学模型，再转化为代码” 的能力，这是编程解决问题的核心思路。后续可深入学习数据结构（如链表、树）和算法（如排序、搜索），解决更复杂的场景，但底层逻辑（数学建模 + 代码实现）是相通的~