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洛谷题单【算法1-4】递推与递归题型分析及难度评价
admin SU @ 2025-5-26 22:09:22

洛谷题单【算法1-4】递推与递归题型分析及难度评价 https://www.luogu.com.cn/training/109#information

一、题型分类：递推题与递归题

1. 递推题（从初始条件出发逐步推导结果）

题号	题目名称	递推类型	难度星级（1-5）	核心考点
P1255	数楼梯	线性递推（斐波那契）	⭐☆☆☆☆	基础递推入门，状态转移方程`f(n)=f(n-1)+f(n-2)`，类似爬楼梯问题。
P1002	[NOIP] 过河卒	二维递推（矩阵DP）	⭐⭐☆☆☆	棋盘路径计数，需处理障碍点，状态转移方程`f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)`。
P1044	[NOIP] 栈	卡特兰数递推	⭐⭐☆☆☆	栈的出栈序列计数，直接套用卡特兰数公式`C(2n,n)/(n+1)`，需理解组合数学推导。
P2437	蜜蜂路线	线性递推	⭐☆☆☆☆	蜂窝路径计数，状态转移`f(n)=f(n-1)+f(n-2)`，类似斐波那契数列。
P1164	小A点菜	线性递推（背包）	⭐⭐☆☆☆	0-1背包问题的变形，递推式`f[j] += f[j-a[i]]`，求方案数而非最大值。
P1036	[NOIP] 选数	递归+递推（组合）	⭐⭐☆☆☆	组合数递推求解，需预处理素数表，再用递归或递推统计选数组合。
P1990	覆盖墙壁	二维递推（状态压缩）	⭐⭐⭐☆☆	用状态压缩表示墙壁覆盖状态，递推转移时考虑横/竖放置瓷砖的情况。
P1228	地毯填补问题	分治递推	⭐⭐⭐☆☆	棋盘覆盖问题，利用分治思想将大问题分解为小问题，递推填充地毯。

2. 递归题（将问题分解为子问题求解）

题号	题目名称	递归类型	难度星级（1-5）	核心考点
P1028	[NOIP] 数的计算	记忆化递归	⭐☆☆☆☆	递归计算满足条件的数的个数，状态转移`f(n)=f(n)+f(k)`（k≤n/2），需记忆化去重。
P1464	Function	递归+数学推导	⭐⭐☆☆☆	多层递归调用，按题意模拟函数`F(a,b,c)`的递归逻辑，注意终止条件。
P1928	外星密码	递归展开		递归解析嵌套的密码字符串，按规则展开重复部分，需处理多层嵌套。
P3612	[USACO] Secret Cow Code	递归定位		在递归生成的字符串中定位第k个字符，通过递归计算子串长度缩小搜索范围。
P1010	[NOIP] 幂次方	递归表示		将数表示为2的幂次方形式，递归分解数值，处理指数的递归输出（如`2(2(2)+2+2^0)`）。
P1259	黑白棋子的移动	递归模拟	⭐⭐⭐☆☆	递归模拟棋子移动过程，寻找最少步数，需记录状态避免重复搜索。
P1498	南蛮图腾	递归绘制	⭐⭐⭐☆☆	递归生成分形图案，按层次绘制线条，考验递归逻辑的空间想象能力。

二、难度星级与核心特征总结

题号	题目名称	题型	难度	关键技巧
P1255	数楼梯	递推	普及−	一维线性递推，状态转移简单，适合递推入门。
P1002	过河卒			二维矩阵递推，处理障碍点的路径计数，需初始化边界条件。
P1044	栈			卡特兰数的应用，需理解栈出栈序列与卡特兰数的关系，直接计算组合数。
P1028	数的计算	递归		记忆化递归减少重复计算，状态定义为`f(n)`表示n的合法数个数，递归式`f(n)+=f(k)`。
P1464	Function			多层递归嵌套，按题目描述直接实现函数逻辑，注意参数范围和终止条件。
P1928	外星密码		普及/提高−	递归解析字符串中的重复模式（如`A(3)BC`展开为`AAABC`），处理嵌套括号。
P2437	蜜蜂路线	递推	普及−	蜂窝路径的递推计数，与斐波那契数列逻辑相同，注意起点和终点的索引转换。
P1164	小A点菜	递推（背包）	普及−	0-1背包求方案数，递推式`f[j] += f[j-a[i]]`，初始化`f[0]=1`。
P1990	覆盖墙壁	递推	普及/提高−	状态压缩递推，用二进制表示墙壁覆盖状态，转移时考虑横/竖瓷砖的放置方式。
P3612	Secret Cow Code	递归	普及−	递归生成字符串时不实际构造字符串，而是通过长度计算直接定位目标字符，优化效率。
P1498	南蛮图腾	递归	普及/提高−	分形图形的递归绘制，每层图案由下层图案旋转、复制得到，需理解分形的递归结构。

三、学习建议

递推题入门顺序：
- 先练习线性递推（P1255数楼梯、P2437蜜蜂路线），掌握一维状态转移；
- 再尝试二维递推（P1002过河卒）和背包递推（P1164小A点菜），理解状态维度扩展。
递归题核心要点：
- 递归的关键是定义子问题（如f(n)的含义）和终止条件（如n≤1时返回固定值）；
- 记忆化递归（如P1028数的计算）可避免重复计算，大幅提高效率；
- 复杂递归题（如P1498南蛮图腾）需先画出前几层图案，找出递归规律。
递推与递归的转换：
- 递推是递归的迭代实现，通常效率更高（无栈开销）；
- 部分题目（如斐波那契数列）既可递推也可递归，建议优先用递推（如P1255）。
易错点提醒：
- 递推题注意初始化边界条件（如过河卒的障碍点f(i,j)=0）；
- 递归题注意栈溢出（如P1464的递归深度），必要时用记忆化或转换为递推；
- 卡特兰数题（P1044）需注意数据范围，可能需要高精度计算。

如果需要某道题的具体递推式、递归逻辑或代码框架，可以进一步提问哦！

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