🔢 C++ 枚举算法通俗易懂教程 🎯

📌 从零掌握循环枚举、子集枚举、排列枚举，图文并茂 + 激励语！

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🧠 一、什么是枚举算法？

枚举（Brute-force Enumeration） 是一种通过“穷举所有可能”来解决问题的算法思想。

你可以把它想象成：

🔍 在一堆钥匙中找一把能开锁的钥匙 —— 一个一个试过去。
🧩 题目怎么说，你就怎么写！

✅ 枚举的本质：

暴力但有效，适合初学者入门算法思维！

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📌 枚举算法的三大类型

类型	特点	示例
循环枚举	使用嵌套循环遍历多个变量	找满足条件的整数对
子集枚举	遍历集合的所有子集	选数问题
排列枚举	遍历集合的所有排列	全排列问题

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🔁 二、循环枚举（Loop Enumeration）

✅ 特点：

• 使用 for 或 while 循环来枚举每种可能。
• 适用于问题空间有限、结构清晰的情况。

📘 示例：找出所有满足 a² + b² = c² 的三元组（a, b, c ≤ n）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n = 20;
    for (int a = 1; a <= n; ++a)
        for (int b = a; b <= n; ++b)
            for (int c = b; c <= n; ++c)
                if (a*a + b*b == c*c)
                    cout << a << "^2 + " << b << "^2 = " << c << "^2" << endl;
    return 0;
}

📌 输出示例：

3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 12^2 = 13^2
6^2 + 8^2 = 10^2
...

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🧩 三、子集枚举（Subset Enumeration）

✅ 特点：

• 遍历一个集合的所有子集。
• 可以使用递归或位运算实现。

📘 方法一：递归法

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void generateSubsets(vector<int>& nums, vector<int>& subset, int index) {
    if (index == nums.size()) {
        for (int num : subset)
            cout << num << " ";
        cout << endl;
        return;
    }

    // 不选当前元素
    generateSubsets(nums, subset, index + 1);

    // 选当前元素
    subset.push_back(nums[index]);
    generateSubsets(nums, subset, index + 1);
    subset.pop_back();
}

int main() {
    vector<int> nums = {1, 2, 3};
    vector<int> subset;
    generateSubsets(nums, subset, 0);
    return 0;
}

📌 输出：

(空行)
1 
2 
1 2 
3 
1 3 
2 3 
1 2 3 

📘 方法二：位运算（二进制法）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    vector<int> nums = {1, 2, 3};
    int n = nums.size();

    for (int mask = 0; mask < (1 << n); ++mask) {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            if (mask & (1 << i))
                cout << nums[i] << " ";
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

📌 输出同上。

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🔄 四、排列枚举（Permutation Enumeration）

✅ 特点：

• 遍历一个集合的所有排列顺序。
• 可以使用递归回溯法或 STL 中的 next_permutation 实现。

📘 方法一：递归回溯法

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void permute(vector<int>& nums, vector<int>& path, vector<bool>& used) {
    if (path.size() == nums.size()) {
        for (int num : path)
            cout << num << " ";
        cout << endl;
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
        if (!used[i]) {
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            permute(nums, path, used);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    vector<int> nums = {1, 2, 3};
    vector<int> path;
    vector<bool> used(nums.size(), false);
    permute(nums, path, used);
    return 0;
}

📌 输出：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

📘 方法二：STL 内置函数 next_permutation

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    vector<int> nums = {1, 2, 3};
    sort(nums.begin(), nums.end());

    do {
        for (int num : nums)
            cout << num << " ";
        cout << endl;
    } while (next_permutation(nums.begin(), nums.end()));

    return 0;
}

📌 输出同上。

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🧠 五、优化技巧与注意事项

技巧	说明
剪枝优化	提前跳过不可能成立的情况，减少枚举次数
转换思路	改变枚举对象，如将组合问题转为位运算
减少重复计算	记录中间结果避免重复计算
合理设计数据结构	使用数组、集合等提高效率

注意项	说明
时间复杂度高	枚举算法通常时间复杂度较高，注意规模限制
空间占用	递归可能造成栈溢出，注意深度限制
边界处理	注意循环边界、数组越界等问题

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🎁 六、加油鼓励语 💪

👋 亲爱的同学，恭喜你掌握了 C++ 中非常实用的枚举算法！这是通往算法高手之路的重要一步！

🎯 枚举是锻炼编程逻辑的好工具，它帮助你把抽象的问题变成具体的代码。
🧠 掌握它，你会发现自己能轻松应对很多看似复杂的编程挑战！

🚀 继续努力，坚持练习，你一定能在编程世界中大放异彩！我们在这里为你打call！👏👏👏

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📅 最后更新时间：2025年5月22日 23:37

🎉 祝你学习愉快，早日成为编程高手！🌟