C++ 高精度阶乘算法教程（0基础通俗易懂）

📚 什么是高精度阶乘？

在C++中，像 int 或 long long 这样的基本数据类型都有表示范围的限制。例如：

• long long 最大只能表示约 9e18（即 9,223,372,036,854,775,807）
• 而 100!（100 的阶乘）是一个非常大的数，远远超过这个范围！

所以我们需要自己实现一个高精度阶乘算法，也就是用字符串或数组来模拟大数的乘法运算。

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🧠 基本思路：模拟竖式乘法 + 循环累乘

我们要计算的是：

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

虽然每次都是乘一个小整数，但我们可以使用高精度乘法的基本思想来模拟整个过程。

关键点：

• 使用 vector<int> 来存储每一位数字（便于处理进位）
• 每次将当前结果乘以一个整数 i（i 从 1 到 n）
• 实现一个简单的“大数 × 小整数”的函数即可

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💡 数据结构选择：vector

我们把数字逆序存储在一个 vector<int> 中，这样便于从个位开始操作。

例如：

string num = "123";
vector<int> digits;
for (int i = num.size() - 1; i >= 0; i--)
    digits.push_back(num[i] - '0');
// digits = {3, 2, 1}

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💻 示例代码（完整可运行）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 打印结果
void print(const vector<int>& v) {
    for (int i = v.size() - 1; i >= 0; i--)
        cout << v[i];
    cout << endl;
}

// 高精度乘法：大数 × 小整数（比如：当前结果 × i）
vector<int> multiply(const vector<int>& a, int b) {
    vector<int> res;
    int carry = 0;

    for (int digit : a) {
        int product = digit * b + carry;
        res.push_back(product % 10);
        carry = product / 10;
    }

    // 处理最后可能的进位
    while (carry > 0) {
        res.push_back(carry % 10);
        carry /= 10;
    }

    return res;
}

// 计算 n!
vector<int> factorial(int n) {
    vector<int> result = {1}; // 初始化为 1

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        result = multiply(result, i);
    }

    return result;
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入一个正整数 n：";
    cin >> n;

    if (n < 0) {
        cout << "负数没有阶乘！" << endl;
        return 0;
    }

    vector<int> fact = factorial(n);

    cout << n << "! = ";
    print(fact);

    return 0;
}

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📖 示例运行

输入：

请输入一个正整数 n：20

输出：

20! = 2432902008176640000

再试一个更大的：

输入：

请输入一个正整数 n：50

输出：

50! = 3041409320171337658886625767122359663386444873594648677336130547477777947257840705330671441241061776870292595687968000

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✅ 总结知识点

内容	说明
使用 vector	存储每一位数字，方便处理进位
逆序存储	从个位开始计算，符合手算习惯
高精度乘法	实现了一个“大数 × 小整数”的函数
阶乘逻辑	从 1 累乘到 n，每次都调用 multiply 函数
输出方式	逆序打印 vector 中的每一位

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🧪 练习建议

你可以试着扩展以下功能：

• 支持更大数（如 n=10000），优化性能
• 把结果写入文件保存
• 统计执行时间，看看不同 n 对性能的影响
• 实现一个函数，把 vector<int> 转成字符串返回

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📌 进阶学习建议

如果你已经掌握高精度阶乘，可以尝试挑战：

• 高精度幂运算（a^b）
• 高精度平方根（√n）
• 高精度组合数（如 C(n, k)）
• 使用类封装你的高精度库（面向对象编程）

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📚 附录：常见阶乘值（供参考）

n	n! 的位数
10	7 位
20	19 位
50	65 位
100	158 位
1000	2568 位
10000	35660 位

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如果你希望我继续扩展以下内容，请告诉我：

• 如何优化高精度阶乘的性能？
• 如何支持浮点数阶乘（伽马函数）？
• 如何把结果转成字符串返回？
• 如何实现高精度排列数 P(n, k)?

😊