斐波那契数列简介

斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个经典的数学序列，定义如下：

• 第0项是0
• 第1项是1
• 从第2项开始，每一项都是前两项之和

即：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 n >= 2

斐波那契数列在自然界、艺术、编程等多个领域都有广泛应用。下面介绍几种常见的计算斐波那契数列的方法。

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📌 方法一：递归法

思路：

直接根据斐波那契数列的定义进行递归计算。这种方法直观但效率较低，因为存在大量的重复计算。

def fibonacci_recursive(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci_recursive(n - 1) + fibonacci_recursive(n - 2)

# 示例
print(fibonacci_recursive(10))  # 输出: 55

注意：对于较大的 n 值，递归方法会导致性能问题甚至栈溢出。

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📌 方法二：记忆化递归（带缓存）

为了避免重复计算，可以使用记忆化技术来存储已经计算过的值。

from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize=None)
def fibonacci_memoized(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci_memoized(n - 1) + fibonacci_memoized(n - 2)

# 示例
print(fibonacci_memoized(10))  # 输出: 55

这种方法大大提高了效率，因为它避免了重复计算。

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📌 方法三：动态规划（自底向上）

动态规划是一种常用的优化方法，它通过保存中间结果来减少重复计算。

动态规划实现：

def fibonacci_dp(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    
    return dp[n]

# 示例
print(fibonacci_dp(10))  # 输出: 55

优化空间复杂度：

由于每次只需要前两个状态，因此可以只用两个变量来代替整个数组，从而减少空间占用。

def fibonacci_dp_optimized(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    
    prev1, prev2 = 1, 0
    
    for _ in range(2, n + 1):
        current = prev1 + prev2
        prev2 = prev1
        prev1 = current
    
    return prev1

# 示例
print(fibonacci_dp_optimized(10))  # 输出: 55

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📌 方法四：矩阵快速幂

斐波那契数列也可以通过矩阵乘法和快速幂算法来高效计算。这种方法适用于非常大的 n 值。

矩阵快速幂实现：

斐波那契数列可以通过以下矩阵运算表示：

| F(n+1) | = | 1 1 |^n * | F(1) |
| F(n)   |   | 1 0 |     | F(0) |

import numpy as np

def matrix_multiply(a, b):
    """矩阵乘法"""
    return np.dot(a, b)

def matrix_power(matrix, n):
    """矩阵快速幂"""
    result = np.identity(len(matrix), dtype=int)
    base = matrix
    
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            result = matrix_multiply(result, base)
        base = matrix_multiply(base, base)
        n //= 2
    
    return result

def fibonacci_matrix(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    
    base_matrix = np.array([[1, 1], [1, 0]], dtype=int)
    result_matrix = matrix_power(base_matrix, n - 1)
    
    return result_matrix[0][0]

# 示例
print(fibonacci_matrix(10))  # 输出: 55

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💡 扩展练习

练习1：用户输入并输出斐波那契数

编写程序让用户输入一个整数 n，然后输出斐波那契数列中的第 n 个数。

def main():
    n = int(input("请输入要查找的斐波那契数列的位置: "))
    print(f"斐波那契数列第 {n} 项是: {fibonacci_dp_optimized(n)}")

if __name__ == "__main__":
    main()

练习2：生成前N项斐波那契数列

编写程序生成前 n 项斐波那契数列，并打印出来。

def generate_fibonacci_sequence(n):
    if n <= 0:
        return []
    elif n == 1:
        return [0]
    elif n == 2:
        return [0, 1]
    
    sequence = [0, 1]
    for i in range(2, n):
        sequence.append(sequence[-1] + sequence[-2])
    
    return sequence

# 示例
n = 10
print(f"前 {n} 项斐波那契数列是: {generate_fibonacci_sequence(n)}")

练习3：处理大数情况

当 n 非常大时，上述方法可能会遇到性能瓶颈或数值溢出的问题。可以考虑使用Python内置的大整数支持或者专门的库来处理大数。

def fibonacci_large_n(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

# 示例
print(fibonacci_large_n(1000))  # Python 自动处理大数，不会溢出

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📋 总结

通过本教程，你应该能够：

• 使用递归方法计算斐波那契数列。
• 使用记忆化技术优化递归计算。
• 使用动态规划方法高效计算斐波那契数列。
• 使用矩阵快速幂方法处理非常大的 n 值。
• 编写程序接收用户输入并生成斐波那契数列。

如果你希望进一步了解以下内容，请告诉我：

✅ 如何处理更大范围的斐波那契数？
✅ 更复杂的递归/迭代问题示例及解析？
✅ 动态规划在其他经典问题中的应用？

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示例运行结果

对于 n = 10 的情况：

斐波那契数列第 10 项是: 55
前 10 项斐波那契数列是: [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]