def hanoi(n, source, target, auxiliary):
    """
    汉诺塔递归函数
    :param n: 圆盘的个数
    :param source: 源柱子（开始时圆盘所在柱子）
    :param target: 目标柱子（最终圆盘要移动到的柱子）
    :param auxiliary: 辅助柱子（用来辅助移动圆盘的柱子）
    """
    if n == 1:
        # 当只有一个圆盘时，直接从源柱子移动到目标柱子
        print(f"将 1 号盘从 {source} 到 {target}")
        return
    # 把n - 1个圆盘从源柱子借助目标柱子移动到辅助柱子
    hanoi(n - 1, source, auxiliary, target)
    print(f"将 {n} 号盘从 {source} 到 {target}")
    # 把n - 1个圆盘从辅助柱子借助源柱子移动到目标柱子
    hanoi(n - 1, auxiliary, target, source)

# 假设有3个圆盘，A柱为源柱子，C柱为目标柱子，B柱为辅助柱子
#hanoi(3, 'A', 'C', 'B')
hanoi(3, '第一个柱子', '第三个柱子', '第二个柱子')

https://ajlovechina.github.io/Hanoi/

https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/hanoitower

https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/hanoitower

https://kagol.github.io/hanoi/

汉诺塔问题概述

汉诺塔问题是一个经典的递归问题，有三根柱子（通常标记为A、B、C），在柱子A上有若干个大小不同的圆盘，要求把这些圆盘从柱子A移动到柱子C，且移动过程需遵循以下规则：

1. 每次只能移动一个圆盘。
2. 任何时候大圆盘都不能放在小圆盘上面。

递推关系分析

设移动 n 个圆盘所需的最少步数为 $T(n)$。

• 初始情况：当 $n = 1$ 时，只需要将这一个圆盘从起始柱直接移动到目标柱，所以 $T(1)=1$。
• 递推情况：当有 $n$ 个圆盘时，可以把移动过程分为三个步骤：
  1. 把上面的 $n - 1$ 个圆盘从起始柱借助目标柱移动到辅助柱，这一步需要的步数是 $T(n - 1)$。
  2. 把最下面的第 $n$ 个圆盘从起始柱移动到目标柱，这一步需要 $1$ 步。
  3. 把辅助柱上的 $n - 1$ 个圆盘借助起始柱移动到目标柱，这一步又需要 $T(n - 1)$ 步。

因此，得到递推公式 $T(n)=2T(n - 1)+1$。

通项公式推导

对递推公式 $T(n)=2T(n - 1)+1$ 进行变形求解通项公式：

• 设 $T(n)+x = 2(T(n - 1)+x)$，展开可得 $T(n)=2T(n - 1)+x$。
• 对比 $T(n)=2T(n - 1)+1$，可知 $x = 1$。
• 那么数列 $\{T(n)+1\}$ 是以 $T(1)+1 = 2$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列。
• 根据等比数列通项公式 $a_n=a_1q^{n - 1}$（这里 $a_n=T(n)+1$，$a_1 = 2$，$q = 2$），可得 $T(n)+1=2\times2^{n - 1}=2^n$。
• 所以，$T(n)=2^n - 1$。

Python 代码实现

下面是用 Python 实现根据通项公式计算移动 n 个圆盘所需最少步数的代码：

# 定义一个函数，接收圆盘数量 n 作为参数
def hanoi_steps(n):
    # 根据通项公式 2^n - 1 计算移动 n 个圆盘所需的最少步数
    return 2 ** n - 1

# 示例：计算移动 3 个圆盘所需的最少步数
n = 3
# 调用函数计算结果
steps = hanoi_steps(n)
print(f"移动 {n} 个圆盘最少需要 {steps} 步。")

代码解释

• hanoi_steps 函数接收一个整数参数 n，代表圆盘的数量。
• 在函数内部，使用 2 ** n - 1 计算移动 n 个圆盘所需的最少步数，其中 2 ** n 表示 2 的 n 次方。
• 最后通过示例，计算并输出移动 3 个圆盘所需的最少步数。你可以修改 n 的值来计算不同数量圆盘的最少移动步数。