二分查找每次把查找区间缩小一半，在最坏情况下，查找次数满足公式 $k = \lceil\log_2 n\rceil$ （$k$ 是查找次数，$n$ 是数据规模，$\lceil\rceil$ 表示向上取整 ） 。以下是不同数据规模下10次二分查找的情况分析：

• 100次：因为 $\log_2{100} \approx 6.64$ ，向上取整为7次 ，10次二分查找远超过查找100个数据所需次数。
• 1000次 ：$\log_2{1000} \approx 9.97$ ，向上取整为10次 ，10次二分查找最多可查找约1000个数据，刚好满足。
• 10万次 ：$\log_2{100000} \approx 16.61$ ，向上取整为17次 ，10次二分查找不能满足查找10万个数据的需求。
• 100万次 ：$\log_2{1000000} \approx 19.93$ ，向上取整为20次 ，10次二分查找远不能满足查找100万个数据的需求 。
• 1000万次 ：$\log_2{10000000} \approx 23.26$ ，向上取整为24次 ，10次二分查找远不能满足查找1000万个数据的需求 。
• 1亿次 ：$\log_2{100000000} \approx 26.58$ ，向上取整为27次 ，10次二分查找远不能满足查找1亿个数据的需求 。

所以10次二分查找最多能处理约1000个数据规模，仅在1000次这个量级符合要求，其他量级（100次远不需要10次查找，10万、100万、1000万、1亿次则超出了10次查找能处理的范围 ）不符合。

Python 递归版本的二分查找教程（0基础，通俗易懂）

1. 什么是递归版本的二分查找？

递归版本的二分查找是基于函数调用自身来实现的二分查找算法。它和普通版本的二分查找逻辑相同，但通过递归的方式来不断缩小查找范围。

• 优点：
  • 代码简洁直观。
  • 符合二分查找的“分治”思想。
• 缺点：
  • 可能会占用更多的栈空间（对于非常大的数组，可能导致栈溢出）。

2. 递归的基本思想

递归的核心思想是将大问题分解成小问题，直到问题变得足够简单可以直接解决。对于二分查找来说：

1. 找到数组的中间值。
2. 如果目标值等于中间值，直接返回索引。
3. 如果目标值小于中间值，在左半部分继续查找。
4. 如果目标值大于中间值，在右半部分继续查找。
5. 重复上述过程，直到找到目标值或查找范围为空。

3. 递归版本的二分查找步骤

我们用一个例子来说明：在有序数组 [1, 3, 5, 7, 9, 11] 中查找数字 7。

步骤：

1. 定义递归函数，传入数组、目标值、当前的左右边界。
2. 计算中间索引：
   mid = (left + right) // 2
3. 比较中间值与目标值：
   • 如果中间值等于目标值，返回索引。
   • 如果目标值小于中间值，递归调用函数，查找左半部分（更新 right = mid - 1）。
   • 如果目标值大于中间值，递归调用函数，查找右半部分（更新 left = mid + 1）。
4. 如果 left > right，表示查找范围为空，返回 -1 表示未找到。

4. Python代码实现

以下是递归版本的二分查找完整代码：

def binary_search_recursive(arr, target, left, right):
    # 基本条件：如果查找范围为空，返回 -1
    if left > right:
        return -1

    # 计算中间索引
    mid = (left + right) // 2

    # 检查中间值是否为目标值
    if arr[mid] == target:
        return mid  # 找到目标值，返回索引
    elif arr[mid] < target:
        # 目标值在右半部分，递归查找右半部分
        return binary_search_recursive(arr, target, mid + 1, right)
    else:
        # 目标值在左半部分，递归查找左半部分
        return binary_search_recursive(arr, target, left, mid - 1)

# 测试代码
arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11]
target = 7
result = binary_search_recursive(arr, target, 0, len(arr) - 1)
print(f"目标值 {target} 的索引是: {result}")

运行结果：

目标值 7 的索引是: 3

5. 代码解析

1. 递归终止条件：
   • 当 left > right 时，表示查找范围为空，直接返回 -1。
2. 递归调用：
   • 根据中间值与目标值的比较结果，递归调用函数，更新查找范围。
3. 返回值：
   • 如果找到目标值，返回其索引。
   • 如果未找到，返回 -1。

6. 递归版本的关键点

1. 递归终止条件：必须明确什么时候停止递归（即 left > right）。
2. 参数传递：每次递归调用时，需要正确传递新的 left 和 right 边界。
3. 避免栈溢出：递归深度受限于系统栈大小，因此不适用于非常大的数组。

7. 递归版本的应用场景

• 查找某个值是否存在。
• 查找某个值的位置（返回索引）。
• 解决一些变体问题（如第一个大于等于目标值的位置）。

8. 小练习

1. 给定一个有序数组 [2, 4, 6, 8, 10, 12]，使用递归版本的二分查找找出数字 8 的索引。
2. 修改递归版本的代码，使其返回目标值是否存在（返回布尔值）。
3. 实现一个递归版本的函数，找到数组中第一个大于等于目标值的位置。

9. 总结

递归版本的二分查找虽然代码更简洁，但也需要注意以下几点：

• 递归终止条件是关键，否则会导致无限递归。
• 数组必须有序，否则结果不正确。
• 对于非常大的数组，建议使用非递归版本以避免栈溢出。

希望这篇教程对你有帮助！如果有任何疑问，请随时提问！ 😊

Python 递归版本的二分查找教程。

一、递归的概念

在开始讲解递归版本的二分查找之前，我们先来了解一下什么是递归。递归就是在函数的定义中调用函数自身的方法。一个递归函数通常包含两个部分：

1. 基线条件：也叫终止条件，是递归结束的条件，防止函数无限调用自身导致栈溢出错误。
2. 递归条件：函数调用自身的部分，每次调用会使问题规模逐渐减小，最终达到基线条件。

二、二分查找的基本思路回顾

二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的高效算法。它的基本思路是将有序数组分成两部分，通过比较中间元素和目标元素的大小关系，来决定继续在数组的左半部分还是右半部分查找，不断缩小查找范围，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。

三、递归版本二分查找的实现步骤

1. 基线条件：当左边界大于右边界时，说明目标元素不在数组中，此时返回 -1。
2. 递归条件：
   • 计算中间位置 mid。
   • 如果中间元素等于目标元素，返回中间位置 mid。
   • 如果中间元素大于目标元素，递归调用函数在左半部分查找。
   • 如果中间元素小于目标元素，递归调用函数在右半部分查找。

四、Python 代码示例

def binary_search_recursive(arr, target, left, right):
    # 基线条件：左边界大于右边界，说明目标元素不存在
    if left > right:
        return -1

    # 计算中间位置
    mid = (left + right) // 2

    # 如果中间元素等于目标元素，返回中间位置
    if arr[mid] == target:
        return mid
    # 如果中间元素大于目标元素，在左半部分继续查找
    elif arr[mid] > target:
        return binary_search_recursive(arr, target, left, mid - 1)
    # 如果中间元素小于目标元素，在右半部分继续查找
    else:
        return binary_search_recursive(arr, target, mid + 1, right)


# 示例用法
arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]
target = 7
result = binary_search_recursive(arr, target, 0, len(arr) - 1)
if result != -1:
    print(f"目标元素 {target} 在数组中的索引是 {result}")
else:
    print(f"目标元素 {target} 不在数组中")

五、代码解释

1. 函数 binary_search_recursive 接收四个参数：arr 是要查找的有序数组，target 是目标元素，left 是当前查找范围的左边界，right 是当前查找范围的右边界。
2. 首先判断基线条件 if left > right:，如果左边界大于右边界，说明目标元素不在当前查找范围内，返回 -1。
3. 计算中间位置 mid = (left + right) // 2。
4. 然后比较中间元素和目标元素：
   • 如果 arr[mid] == target，表示找到了目标元素，返回 mid。
   • 如果 arr[mid] > target，说明目标元素在左半部分，递归调用 binary_search_recursive(arr, target, left, mid - 1)。
   • 如果 arr[mid] < target，说明目标元素在右半部分，递归调用 binary_search_recursive(arr, target, mid + 1, right)。
5. 最后通过示例用法展示了如何调用这个递归函数进行二分查找，并根据返回结果输出相应的信息。

希望这个教程能让你理解 Python 递归版本的二分查找，通过不断练习，你可以更好地掌握递归和二分查找的应用。

二分查找概述

二分查找（Binary Search）也被叫做折半查找，它是一种在有序数组里高效查找特定元素的算法。其核心思想是不断把搜索区间一分为二，依据中间元素和目标元素的大小关系，排除掉一半的搜索区间，进而逐步缩小搜索范围，直至找到目标元素或者确定目标元素不存在。

适用条件

二分查找只能用于有序数组，即数组里的元素按照升序或者降序排列。

算法步骤

1. 初始化：设定左右边界，左边界 left 指向数组首个元素，右边界 right 指向数组末尾元素。
2. 计算中间位置：算出中间位置 mid，公式为 mid = (left + right) // 2（在 Python 里使用 // 进行整除操作）。
3. 比较中间元素和目标元素：
   • 若中间元素等于目标元素，就找到了目标元素，返回中间位置 mid。
   • 若中间元素大于目标元素，说明目标元素在左半部分，更新右边界 right = mid - 1。
   • 若中间元素小于目标元素，说明目标元素在右半部分，更新左边界 left = mid + 1。
4. 重复步骤 2 和 3：只要左边界小于等于右边界，就持续执行上述操作。
5. 未找到目标元素：若左边界大于右边界，表明目标元素不在数组中，返回 -1。

Python 代码实现

def binary_search(arr, target):
    # 初始化左边界
    left = 0
    # 初始化右边界
    right = len(arr) - 1

    while left <= right:
        # 计算中间位置
        mid = (left + right) // 2

        if arr[mid] == target:
            # 找到目标元素，返回中间位置
            return mid
        elif arr[mid] > target:
            # 中间元素大于目标元素，更新右边界
            right = mid - 1
        else:
            # 中间元素小于目标元素，更新左边界
            left = mid + 1

    # 未找到目标元素，返回 -1
    return -1

# 示例用法
arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]
target = 7
result = binary_search(arr, target)
if result != -1:
    print(f"目标元素 {target} 在数组中的索引是 {result}")
else:
    print(f"目标元素 {target} 不在数组中")

复杂度分析

• 时间复杂度：每次迭代都会把搜索区间缩小一半，所以时间复杂度是 $O(log n)$，这里的 $n$ 是数组的长度。
• 空间复杂度：只使用了常数级别的额外空间，空间复杂度为 $O(1)$。

注意事项

• 二分查找仅适用于有序数组，若数组无序，需先对其排序。
• 在计算中间位置时，为避免整数溢出，可采用 mid = left + (right - left) // 2 替代 mid = (left + right) // 2。

通过上述教程，你应该对二分查找算法有了基本的认识，并且能够使用 Python 实现简单的二分查找功能。